1. Il primo problema di Roberto

Roberto vuole recarsi a Piacenza per incontrare un amico che, proveniente da Chiasso e diretto a Cremona, sosterà nella stazione per circa un’ora. Per convincere il padre afferma che l’esperienza gli serve per capire meglio la Cinematica, argomento su cui deve essere interrogato il giorno dopo.
E per amor di pace, cerca di mantenere l’impegno, analizzando il suo moto dalla partenza al rientro a Bologna.
Il moto reale che va considerando è complesso e quindi, per risolvere il problema, deve prevedere delle assunzioni e approssimazioni preliminari.

Osservando l’indice grafico dell’orario ferroviario (fig.1.1) decide di poter considerare il percorso Bologna-Piacenza rettilineo e questo gli semplifica la vita, perchè in un moto unidimensionale basta assumere un punto-origine come riferimento. Come origine del moto assume la stazione di Bologna.

fig.1.1 Particolare dell’indice grafico

Ritiene lecite entrambe le approssimazioni, poichè le effettive deviazioni da un percorso rettilineo, inevitabili in una linea ferroviaria, possono essere trascurate se rapportate alla lunghezza del percorso (circa 150 km); per lo stesso motivo considera valida la scelta di approssimare l’intera stazione di Bologna a un punto (origine).
Il moto quindi è rettilineo con origine in BO e si svolgerà sul tratto BO→PC all’andata e poi al ritorno PC→BO (fig.1.2), prevedendo una sosta a PC.

fig.1.2 Traiettoria percorsa nei due versi

Roberto passa quindi a consultare la tabella oraria dei treni della linea Milano-Roma. Poichè l’amico può fermarsi a Piacenza solo dalle 17.30 alle 18.30, decide di partire da Bologna con l’IR delle 15.38 e di rientrare da Piacenza con l’IC delle 18.42 (costa un po’ di più, ma ha promesso al padre di essere di ritorno per cena).

Tabella oraria

t (h.m.)	BO	MO	RE	PR	Fi- denza	Fioren- zuola	PC
→	15.38	15.59- 16.01	16.14- 16.16	16.31- 16.33	16.44- 16.45	16.54	17.06
←	19.58	--	--	--	--	--	18.42
s (km)	0	37	62	90			147

Per descrivere il suo moto costruisce il grafico s(t) dello spostamento (distanza della sua posizione dall’origine del sistema di riferimento) in funzione del tempo (fig.1.3). Trattandosi di un moto reale e quindi complesso assume:

di considerare il moto fra una stazione e l’altra come uniforme (velocità costante), trascurando le inevitabili variazioni dovute alle caratteristiche del percorso;
di trascurare il rallentamento all’entrata delle stazioni e l’accelerazione alla partenza, perchè di durata trascurabile rispetto alla durata del viaggio fra una stazione e l’altra;
di trascurare, per lo stesso motivo, il tempo di fermata (massimo due minuti) nelle stazioni;
di schematizzare se stesso (con il treno) con un punto materiale in movimento. Il Prof. non dice che un oggetto si rappresenta con un punto materiale quando le sue dimensioni sono trascurabili rispetto allo spazio in cui si trova?

Suppone inoltre che il treno sia in orario e rispetti i tempi previsti (forse è l’ipotesi più azzardata!).

Assume come origine dei tempi l’istante in cui parte da Bologna.

fig.1.3 Grafico s(t)

Dal grafico ricava:

che la distanza cresce da Bologna a Piacenza e diminuisce man mano che da Piacenza rientra a Bologna. Lo spostamento finale è zero, perchè si è tornati all’origine.
Lo spazio totale percorso nel viaggio è dato dalla somma di quello percorso all’andata e al ritorno: (147+147) km = 294 km. Infatti nella misura dello spostamento occorre tener conto del verso di percorrenza (è una grandezza vettoriale), mentre nello spazio percorso ci interessa solo il numero di kilometri percorsi (grandezza scalare).
che la velocità all’andata rimane costante lungo tutto il percorso BO-PC, quindi il moto si può considerare uniforme; che la velocità è maggiore al ritorno che all’andata e la pendenza negativa indica che si è invertito il senso di marcia.
v(andata) = 147 km / 88 min = 147000 m / (88x60) s = 27,8 m/s (velocità media all’andata)
v(ritorno) = 147 km / 76 min = 147000 m / (76x60) s = 32,2 m/s (velocità media al ritorno)

Ma il treno al ritorno non effettua fermate e quindi 7 minuti vengono recuperati per questo motivo; se ricalcola la velocità media di crociera all’andata, tenendo conto delle soste,si ricava che l’IR viaggia circa alla stessa velocità dell’IC.
v(andata) = 147 km / (88-7) min.= 147000 m / (81x60) s = 30,2 m/s.

Questo risultato toglie l’illusione che quando si viaggia sull’IC si "va più forte" che con l’IR. La velocità di crociera quindi più che al mezzo di trasporto è vincolata alle condizioni della linea ferroviaria (abitati attraversati, manutenzione, traffico, ecc...).
L’approssimazione di trascurare il tempo di sosta nelle stazioni è quindi grossolana, ma per avere un risultato più attendibile occorre tenerne conto.

Se calcoliamo le velocità medie nei singoli tratti del percorso:

v(MO-BO) = 29,4 m/s
v(RE-MO) = 32,0 m/s
v(PR-RE) = 31,1 m/s
v(PC-PR) = 29,7 m/s

vediamo che considerare il moto uniforme su tutto il percorso (escluse le fermate) è stata un’approssimazione corretta.

Nel ritorno (senza fermate), nell’ipotesi del moto uniforme con velocità v = 32,2 m/s, possiamo anche prevedere la posizione del treno (distanza dall’origine = s) in ogni istante, nota la legge oraria del moto uniforme:
s = s₀+vt,
dati:
s₀ = 14700 m
v = -32,2 m/s (invertito il senso di marcia)
si ottiene
s = 14700-32,2t