1. Il terzo problema di Roberto

Roberto si guarda intorno per scegliere un esempio di moto rettilineo non uniforme da esaminare.
Appartiene alla nostra esperienza di tutti i giorni e fin dalla prima infanzia che un oggetto, lasciato libero ad una certa altezza dal suolo, cada lungo la verticale. Roberto ritiene che questo sia un buon esempio di moto rettilineo non uniforme.

Ha visto in un vecchio libro di testo di fisica(^*) la fotografia al multiflash di una palla da biliardo che cade e decide di analizzarne il moto, seguendo le procedure già utilizzate nei problemi precedenti.
Nella fotografia (fig.1.12) è presente anche una riga graduata di riferimento, per calcolare le effettive distanze percorse. L’intervallo di tempo fra un flash e il seguente è 1/30s.

Roberto vuole costruire il grafico s(t), per cominciare a individuare le caratteristiche del moto. Comincia col misurare sulla fotografia gli spostamenti: s rappresenta la distanza della biglia dal punto di distacco. Essendo la palla un oggetto esteso, prende come riferimento, nel fare le misure, il punto inferiore della palla.

Analizza il moto considerando t=0 il momento del distacco.
Δt (1/30s) rappresenta l’intervallo di tempo al quale si riferisce lo spostamento Δs misurato.

Con i valori ottenuti costruisce il grafico (fig.1.13) e inizialmente, in analogia ai casi precedenti, fa l’ipotesi che in ogni intervallo di tempo il moto si possa considerare uniforme. La poligonale ottenuta può essere disegnata poi come una curva continua.
Si osserva che a intervalli di tempi uguali non corrispondono uguali spostamenti, quindi il moto, come ipotizzato, non è uniforme; la velocità media cresce intervallo dopo intervallo.

A questo punto Roberto decide di studiare come varia la velocità media, al variare del tempo, utilizzando la procedura seguita nel Problema 1.2.7. Non considera tutto il percorso, dato le notevoli difficoltà per la misura dei primi intervalli, e per comodità si riferisce agli 11 intervalli individuati nel libro di testo e ai valori già calcolati nella annessa tabella.
Nei valori riportati in Tab.1 si è già tenuto conto dell’ingrandimento I=100/11,6=8,62.

Il grafico della velocità media in funzione dell’intervallo è riportato in fig.1.14.

Roberto ritiene di poter assumere come valore della velocità, nell’istante intermedio ad ogni intervallo di tempo, il valore della velocità media in quell’intervallo.

Si ricava così che v(t) ha un andamento lineare. La pendenza della retta (Δv/Δt=cost), rappresenta l’accelerazione a, che risulta costante durante il moto e maggiore di 0.
Il moto si dice uniformemente accelerato.

Possiamo ricavare la relazione velocità-tempo, ponendo, per t=0, v=v₀.
v-v₀=at, da cui v=v₀+at

Nella quarta colonna della Tab. 1 già si era messo in evidenza che la variazione di velocità in ogni intervallo di tempo è costante, circa 32,5cm/s. Questa variazione avviene in 1/30 di secondo, quindi la biglia cade con un’accelerazione a=32,5x30=975cm/s².

Osservando il grafico di fig.1.14 si può anche dedurre che la somma delle aree dei rettangoli in figura (v_mxΔt) rappresenta lo spostamento nel tempo t. Se consideriamo il grafico della velocità istantanea in funzione del tempo (la retta), possiamo generalizzare assumendo come spostamento nel tempo t l’area del trapezio (somma delle basi x altezza / 2) sottostante alla retta.

Questa è la legge del moto, nel caso in cui per t=0, s₀=0 e v=v₀.

Consideriamo il caso più semplice in cui per t=0, s₀=0 e v₀=0.
La legge del moto diventa s=at²/2, quindi s è direttamente proporzionale a t². Questo caso particolare di moto uniformemente accelerato prende anche il nome di moto naturalmente accelerato.
È il caso del moto rappresentato in fig.1.13.

Roberto vuole verificarlo, costruendo il grafico di s in funzione di t² (fig.1.15), con i dati utilizzati nel grafico s(t) di fig.1.13.

La previsione è confermata. La pendenza in questo caso Δs/(Δt)²=a/2.
s è misurato in mm, Δt=1/30 di secondo.

Roberto conclude che il moto della biglia, con condizioni iniziali, per t=0, s₀=0 e v₀=0, è un moto naturalmente accelerato, rappresentato dal grafico s(t) di fig.1.13, e dall’equazione del moto
s=975 t² / 2, con s espresso in cm e t in secondi.
La velocità dipende dal tempo, secondo la relazione v=975t, con v espresso in cm/s e t in secondi.

^* Physics (PSSC) D.C. Meath and Company, Boston, 1960 p.326
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