1.7 Moto armonico semplice

Immaginiamo di avere un disco che ruota con velocità costante e che, sul bordo di questo, sia fissato un chiodo con la punta rivolta verso l’alto. Se illuminiamo il disco in modo da proiettare su uno schermo l’ombra del chiodo, conservando le dimensioni di questo (ingrandimento=1), mentre il disco ruota, l’ombra del chiodo oscillerà su un segmento parallelo e di dimensioni uguali al diametro del disco (fig.1.28).

Il problema consiste nello studiare il moto dell’ombra del chiodo, mentre il disco ruota in senso antiorario.
Il chiodo si muove di moto circolare uniforme su una circonferenza di raggio R, con velocità angolare costante ω=2π/T, dove T è il periodo, cioè il tempo che impiega a fare un giro.
La velocità v=ωR è costante in modulo e diretta lungo la tangente nel punto P considerato, l’accelerazione (accelerazione centripeta) a=ω²R è costante in modulo, diretta lungo il raggio R e verso il centro.
Le caratteristiche del moto dell’ombra del chiodo in ogni istante si possono ricavare come proiezione delle caratteristiche del moto del chiodo. Questa è una "scorciatoia" che ci permette di risolvere il problema utilizzando conoscenze già acquisite (vedi cap.1.5).

Si nota che, mentre il chiodo gira, la sua proiezione oscilla sul segmento A’B’=2R, intorno al punto O, proiezione del centro C, con lo stesso periodo T del chiodo.
Cerchiamo di costruire il grafico della proiezione sul segmento A’B’ del punto che si muove sulla circonferenza (fig.1.29).

Vediamo ora di scrivere l’equazione del moto.
Supponiamo che per t=0 il chiodo si trovi in P₀ e la sua proiezione in P’4O. Mentre il chiodo si sposta in P₁, la sua proiezione si sposta nello stesso tempo in P₁’. (fig.1.30)
s’=Rsenωt

Mentre in un tempo t=T/4 il chiodo arriva in A, la sua proiezione si sposta in A’; dopo un tempo t=T/2 il chiodo ha descritto una semicirconferenza e la sua proiezione è ritornata da A’ in O; poi per t=3T/4 il chiodo raggiunge B e la sua proiezione B’; infine il chiodo torna nella posizione iniziale P e la sua proiezione in O.
La s’=Rsenωt rappresenta l’equazione del moto in questo caso particolare.

Consideriamo un caso più generale. Nell’istante t=0 il chiodo si trova in un punto P₀ e la sua ombra in P₀’. (fig.1.31)
In questo caso s’=Rsen(ωt+φ₀) dove φ₀ prende il nome di fase iniziale.
s’₀=Rsenφ₀ rappresenta la distanza dell’ombra da O, nell’istante t=0.

Il moto descritto prende il nome di moto armonico, la cui legge generale è x=Rsen(ωt+φ₀).
x rappresenta la distanza del punto dal centro di oscillazione (elongazione), R l’ampiezza del moto, ω la pulsazione e φ₀ la fase iniziale.
In alcuni testi l’equazione del moto armonico è espressa da x=x₀ cos(ω t+φ₀), perché in tale caso si assume come origine non il centro di oscillazione, ma un estremo. (vedi problema 1.7.16)
Analogamente possiamo ricavare come varia la velocità del punto P’ al variare del tempo (fig.1.32).

v=ωRcos(ωt+φ₀):

• v è massima nel centro di oscillazione e nulla agli estremi

• v è >0, ma decresce da O in A’

• v è <0 e cresce in modulo da A’ a O

• v è <0 e decresce in modulo da O a B’

• v è >0 e cresce in modulo da B’ a O.

E anche per calcolare l’accelerazione costruiamo la proiezione della accelerazione del moto circolare (a_c=ω²R).

a=-ω²Rsen(ωt+φ₀)=-ω²x:

• a è proporzionale allo spostamento e di verso opposto

• a è massima agli estremi e nulla nel centro di oscillazione

• a è <0 e cresce in modulo da O a A’

• a è <0 e diminuisce in modulo da A’ a O

• a è >0 e cresce in modulo da O a B’

• a è >0 e diminuisce in modulo da B’ a O.