1.7 Composizione di moti armonici

E se un oscillatore è soggetto contemporaneamente a più moti armonici?
Consideriamo come esempio questo caso particolare che presenta aspetti interessanti che possono trovare applicazioni nei prossimi capitoli.

Problema 1.7.17

Un oggetto puntiforme è soggetto contemporaneamente a due moti armonici semplici che hanno lo stesso centro di oscillazione e direzioni perpendicolari. Le equazioni del moto sono date da:
x=R1sen(ω1t+φ01) e y=R2sen(ω2t+φ02) dove:

  • R1=R2=R;

  • ω1=ω2=w;

  • f01=0 e φ02=π/2

Studiare il moto risultante.

(1) x=Rsenωt e (2) y=Rsen(ωt+π/2)=Rcosωt (vedi Probl.1.7.16).
Per ricavare l’equazione della traiettoria occorre esprimere y in funzione di x (vedi cap.1.6 - moto parabolico). Eleviamo al quadrato e sommiamo (1) e (2):
x2+y2=R2 (sen2ωt+cos2ωt)=R2 che è l’equazione di una circonferenza. (quarto problema di Roberto)

L’oggetto si muove di moto circolare uniforme con velocità angolare ω, su una circonferenza di raggio R il cui centro coincide con il centro di oscillazione dei due moti armonici semplici.
Il moto circolare uniforme può quindi essere considerato come risultante di due moti armonici semplici, con la stessa ampiezza e pulsazione e sfasati di π/2.
Analogamente un moto circolare uniforme si può scomporre in due moti armonici semplici, ottenuti analizzando le proiezioni del punto P su due diametri fra loro perpendicolari.

E se R1≠R2 ? E se lo sfasamento fra i due moti Δφ≠π/2?
Ogni cosa a suo tempo!