1.8 Il moto del pendolo

Non diamo segni di impazienza dicendo che ormai del pendolo se ne è parlato già dalla Scuola Elementare, che è stato ripreso nella Scuola Media ed è stato anche al centro dell’attenzione per esperienze di laboratorio all’inizio del biennio. Spesso si ritorna su argomenti che abbiamo già trattato per approfondirli e proprio quando crediamo di aver esaurito tutti i dubbi...ricominciamo a porci delle nuove domande.

Che cos’è un pendolo? Possiamo rappresentarlo con un oggetto, sospeso mediante un filo a un gancio; spostato dalla posizione di equilibrio esso comincia ad oscillare, fino a quando, a causa dell’attrito del vincolo e del mezzo, si ferma.

Cosa sappiamo del moto del pendolo? Che è un moto periodico, tanto è vero che lo utilizziamo per le misure di intervalli di tempo, e che il suo periodo dipende dalla lunghezza del filo; possiamo anche già conoscere che T=2π√l/g, dove l è la lunghezza del filo e g l’accelerazione di gravità che, nelle condizioni in cui normalmente operiamo, possiamo considerare costante. Ora, basandoci sulle conoscenze acquisite, riprendiamo lo studio del suo movimento e cerchiamo di definirne le caratteristiche.

Sia data una sferetta , sospesa mediante un filo di lunghezza l ad un gancio (fig.1.36).
Se spostiamo la sferetta dalla posizione di equilibrio, questa si mette ad oscillare intorno a tale posizione. Vogliamo studiare le caratteristiche di questo moto e possibilmente scrivere la legge del moto.

fig.1.36

Per risolvere il problema, supponiamo siano soddisfatte le seguenti condizioni:

le dimensioni della sferetta siano tali da poterla considerare puntiforme;
il filo sia inestensibile e di peso trascurabile;
l’arco descritto nell’oscillazione si possa approssimare con la corrispondente corda.

Un pendolo ideale con queste caratteristiche prende il nome di Pendolo matematico.

fig.1.37

Quando il pendolo oscilla notiamo che la velocità è massima al centro dell’oscillazione e nulla agli estremi. Il moto si ripete periodicamente, percorrendo avanti e indietro l’arco . Nell’istante t=0 la pallina si trova nel centro di oscillazione O, diretta verso A. In un periodo va da O ad A, poi da A a B, quindi ritorna in O. Nell’istante t si trova in P, soggetta all’accelerazione di gravità g. Scomponiamo g in due componenti: una diretta lungo la tangente in P(a=gsenα) ed una lungo la direzione del filo (gcosα). Logicamente la componente lungo il filo non ci interessa, perché il filo è inestensibile. Se l’arco si può approssimare con la corda, x=PO e senα=x/l.
Otteniamo a=gsenα=-gx/l. Il segno meno dipende dal fatto che a ha verso opposto di x.
Essendo g/l=cost., ne deriva che l’accelerazione della pallina è proporzionale allo spostamento e di segno opposto.
Questa è una caratteristica del moto armonico semplice: quindi nelle condizioni poste il moto del pendolo è un moto armonico semplice.
Confrontando la relazione ottenuta a=-gx/l con la generale a=-ω²x si ottiene la pulsazione del moto del pendolo ω=√g/l e il periodo T=2π/ω=2π√ l/g, che, ci fa piacere verificarlo, coincide con l’espressione che già conoscevamo.
L’equazione del moto è pertanto: x=Rsenωt e nel caso generale x=Rsen(ωt+φ₀), dove R è l’ampiezza dell’oscillazione e φ₀ la fase iniziale.

Nota: condizione per poter approssimare l’arco alla corda è che senα≈α rad