2.6 Problema internazionale

Problemi attinenti a questo tema vengono proposti a studenti di numerosi paesi, fra cui l’Italia, la Francia, l’America. Possiamo però affermare, senza paura di essere smentiti, che interessa proprio tutti e che tutti più o meno in modo empirico e "quasi" sempre con successo lo hanno risolto.
Quali sono le condizioni perchè un uomo sia in equilibrio su una scala?
Vediamo alcuni esempi.

A) Consideriamo una scala di lunghezza L appoggiata al muro con un’inclinazione α rispetto al terreno. Supponiamo per semplicità che sia trascurabile l’attrito muro-scala e che non ci sia nessuno sulla scala. Sia P il peso della scala e il suo baricentro G sia in L/2.
Quali sono le forze che agiscono sulla scala?
Il peso P, la reazione del muro F_m, la reazione del pavimento F_p e la forza di attrito F_a pavimento-scala (fig.2.32).
Senza attrito sul pavimento la scala non potrebbe stare in equilibrio!
Le condizioni per equilibrio sono
Risultante delle forze R=F_m+P+F_a+F_p=0
Momento risultante rispetto al punto A: M_R=F_mOB-PAC=0.
F_a e F_p sono applicate in A, quindi il loro momento è nullo.
Lungo l’asse x si ottiene F_a=-F_m
lungo l’asse y: P=-F_p
M=F_mLsenα-P(L/2)Lcosα=0
F_m=PLcosα/2Lsenα
La scala è in equilibrio quando F_p=P e F_a=F_m=P/2tgα
L’equilibrio dipende dal coefficiente d’attrito e dall’inclinazione α.

B) Consideriamo ora il caso in cui un uomo di peso P sta salendo su una scala di peso trascurabile rispetto a P. Anche in questo caso trascuriamo l’attrito parete-scala (fig.2.33).
Se α=60° e il coefficiente di attrito μ_s=0,4 fino a che altezza può salire l’uomo?
Come nel caso precedente per avere l’equilibrio occorre che
F_a=F_m
P=F_p
F_mLsenα-PxLcosα=0 dove L è la lunghezza della scala e x è la frazione di L che l’uomo è in grado di salire.
x=(F_m/P)tg60° ma F_m=μ_sP
x=μ_stg60°=0,69m.
L’uomo può salire fino a circa i 2/3 della scala.
Si nota che il risultato non dipende dal peso dell’uomo.

C) Consideriamo ora il caso che la scala, del peso P_S=10Kgp e lunga l=20m, sia appoggiata al muro (senza attrito) ad una altezza h=16m dal suolo. Il suo baricentro è a l/2. Sulla scala si trova un uomo del peso P=80Kgp (fig.2.34).
Se il coefficiente di attrito scala-pavimento è μ_s=0,4 calcolare a che altezza può salire l’uomo sulla scala senza che questa inizi a scivolare.
Per l’equilibrio deve essere:
F_m-F_a=0
F_p-P-P_S=0
F_ma-Pxb-P_Sb/2=0
dove b²=(l²-h²) da cui b=12m
Essendo F_m=F_a=μ_s(P+P_S)=36Kgp si ottiene:
576-960x-60=0
x=516/960=0,54m
L’uomo può arrivare fin circa a metà scala.

A quanto devo portare l’inclinazione della scala per permettere all’uomo di salire a 3/4 della scala?
In questo caso F_mlsenα-P_Sl/2-3lcosα/4=0 da cui, essendo tgα=senα/cosα:
tgα=senα/cosα=(P_S+3P/2)/μ_S(P+P_S)
tgα=1,81 cioè α=68°
mentre prima era tgα=h/b=16/12=1,333 e α=53°.

Questi calcoli sono corretti, però in pratica se avete qualcuno che vi tiene ferma la scala anche con la punta del piede potete stare più tranquilli!

Quesito 1

Nei problemi precedenti abbiamo considerato un solo punto di appoggio per la scala, sia sul pavimento che contro al muro. Spesso in pratica sono due. Cambiano i risultati?

Quesito 2

Nei problemi precedenti abbiamo sempre trascurato l’attrito parete-scala, in realtà anche questo contribuisce all’equilibrio della scala. Come tenerne conto?