3.3 Dinamica delle rotazioni

Premessa

Nei paragrafi Cap.3.1 e Cap.3.2 abbiamo preso in considerazione il caso di un corpo rigido che si muoveva di moto di traslazione, sottoposto ad una o più forze. Nel risolvere i problemi abbiamo sempre schematizzato il corpo con un suo punto (baricentro) e in questo punto immaginavamo applicate le forze agenti. L’approssimazione è corretta, perchè nel moto traslatorio tutti i punti del corpo rigido si muovono all’unisono con la stessa velocità ed accelerazione e su traiettorie equivalenti.

Inoltre ci siamo sempre riferiti a sistemi di riferimento inerziali. Anche se non sempre è stato messo in evidenza, veniva sottinteso che ci riferissimo ad un sistema di riferimento solidale con la Terra o con il laboratorio, il che ci permetteva, nei casi considerati, di ritenere in buona approssimazione di trovarci in un sistema inerziale.
In questo paragrafo ci occuperemo dei moti di rotazione di un corpo rigido.
Consideriamo per esempio una ruota che ruota intorno al suo asse. Tutti i punti dello stesso raggio descrivono angoli uguali in tempi uguali, cioè si muovono con la stessa velocità angolare ω e con la stessa accelerazione angolare γ (fig.3.21).

fig.3.21

Se analizziamo invece le velocità con cui ogni punto si muove sulla sua traiettoria, notiamo che la velocità v varia con la distanza dall’asse.
Se volete fare un’esperienza personale, provate a pattinare, formando una catena con gli amici, quindi a ruotare in tondo intorno al capo della fila. Il capo della fila rimane pressocchè fermo, ruota solo su se stesso, mentre gli altri si muovono tanto più velocemente, quanto più si trovano in periferia.

Abbiamo visto inoltre, nel Cap.2, che per far ruotare un corpo, per esempio intorno ad un asse, dobbiamo applicare una forza il cui effetto dipende però dalla distanza della sua linea d’azione dall’asse (braccio). Quindi quello che ci interessa è il momento della forza M rispetto all’asse di rotazione. Se misuriamo le accelerazioni angolari γ corrispondenti si ha che M/γ è costante, in analogia a quanto avevamo rilevato nel secondo principio della dinamica riferito ai moti di traslazione F/a=m.
m rappresenta l’inerzia che il corpo presenta alle variazioni di moto e prende il nome di massa inerziale. Analogamente la costante M/γ che indicheremo con I e chiameremo Momento di inerzia rappresenta l’inerzia che il corpo presenta ad essere messo in rotazione.
Consideriamo un’esperienza di facile realizzazione.
Poniamo su un piano inclinato due oggetti, il primo è un disco di legno e il secondo un anello di ferro. Ambedue hanno la stessa massa e le stesse dimensioni, sono stati verniciati nello stesso modo, affinchè anche il coefficiente di attrito sia lo stesso.
A causa dell’attrito i due oggetti non scivolano, ma rotolano lungo il piano.

fig.3.22

Se li poniamo alla stessa altezza come arrivano in fondo al piano?
Hanno lo stesso raggio, hanno la stessa massa, sono soggetti alle stesse forze (peso P=mg e forza di attrito F=μFP/R).
Eppure il disco arriva prima dell’anello (per una conferma vedi anche il Problema 3.3.5).
Poichè i due oggetti differiscono solo nel modo in cui le masse sono distribuite (disco e anello) ne deduciamo che nel rotolare l’inerzia al moto dipende da come la massa è distribuita nell’interno di un oggetto.

Il momento d’inerzia dipende da come la massa è distribuita nell’oggetto, ma anche dall’asse di rotazione.