1915

 La relatività generale e la precessione del perielio di Mercurio: Einstein 1915.

Nel mese di novembre del 1915, mentre l’Europa `e sconvolta dalle vicende della Prima Guerra Mondiale, Einstein porta a termine il suo lavoro sulla nuova  teoria della gravitazione, iniziato nel 1907. E’, infatti, lungo e travagliato il  percorso intrapreso da Einstein per arrivare alla relativit`a generale. Era il  1907 quando ebbe quello che egli stesso definì “il pensiero più felice” della sua vita.

Racconta Einstein: “Ero seduto sulla mia sedia nel Ufficio Brevetti di Berna quando al improvviso mi si presentò un pensiero: “Se una persona cade liberamente non sentirà il suo stesso peso”. Ne fui colpito. Questo semplice pensiero fece su di me una profonda impressione. Mi indirizzò verso una teoria della gravitazione”.

In realtà in quel periodo stava preparando un articolo di rassegna sulle implicazioni della relatività ristretta in vari campi della fisica. Si rese conto che tutti i fenomeni naturali potevano essere trattati in termini di relatività ristretta a eccezione della legge di gravitazione. Capì che era necessario formulare una nuova teoria della gravitazione e per prima cosa assunse il cosiddetto principio di equivalenza implicante sia la indistinguibilità di un campo gravitazionale omogeneo da un sistema di riferimento accelerato, sia la generalizzazione del principio di relatività ai sistemi accelerati l’uno rispetto al altro. Fin da subito comprese che tale fatto avrebbe portato tre conseguenze fisiche verificabili: il red-shift gravitazionale, la deflessione della luce in campo gravitazionale e l’avanzamento del perielio di Mercurio. Per più di tre anni Einstein sembrò  abbandonare il problema della gravitazione. Nel 1911, mentre si trovava all’Università di Praga pubblicò un lavoro in merito al fatto che la deflessione dei raggi luminosi poteva essere osservata quando causata dal Sole. Nel medesimo articolo riprese a dare soluzioni approssimate alle equazioni del moto in un campo gravitazionale. In questo articolo per Einstein lo spazio è ancora piatto. La curvatura dello spazio-tempo entrerà in gioco negli articoli del 1912 e in quello del 1913, scritto insieme al amico Marcel Grossmann mentre entrambi lavoravano all’Università di Zurigo. Ma il cammino non è ancora giunto al termine, sarà soltanto a Berlino, nel 1915, come si è detto agli inizi, dopo due anni di duro lavoro, che darà la versione finale della relatività generale. Anni più tardi Einstein dirà in una conferenza:

“Anni e anni di lavoro oscuro, inseguendo una verità che si intuisce ma che è tuttavia inesprimibile, l’ansia di arrivare, e l’alternarsi di sfiducia e smarrimento finché a un tratto sopraggiunge la chiarezza, la comprensione: tutto questo può capire solo chi l’abbia vissuto”. Ma alla fine “Alla magia di questa teoria non si potrà sottrarre nessuno che l’abbia veramente compresa; essa costituisce un vero trionfo dei metodi del calcolo differenziale generale fondati da Gauss, Riemann e Levi-Civita.” 

Abbiamo tradotto il terzo dei lavori presentati all’Accademia il 18 novembre di quell’anno, dal titolo Spiegazione del perielio di Mercurio con la teoria della relatività generale. Qui vogliamo solo ricordare che in questo scritto, Einstein riesce, oltre a spiegare la precessione anomala, cioè non spiegata dalle perturbazioni dei pianeti noti del sistema solare, a ottenere la meccanica newtoniana come prima approssimazione della R.G. La storia dell’elaborazione della RG si può trovare nel testo di Pais e in numerosi articoli che si possono trovare in rete. Qui solo un cenno del problema della precessione. Secondo la teoria di Newton le orbite dei pianeti attorno al Sole sono delle ellissi che mantengono la propria posizione solo in prima approssimazione (il problema è risolubile esattamente solo per due corpi, studiando l’interazione Sole pianeta) se si trascurano il moto delle stelle fisse e l’azione degli altri pianeti su quello considerato. Tenendo invece conto della presenza degli altri pianeti si osserva che la traiettoria del pianeta non si richiude su un’ellisse ma compie una lenta rotazione del asse maggiore del ipotetica traiettoria ellittica kepleriana, generando quella che è nota come la precessione del perielio. Questo fatto era perfettamente deducibile dalla teoria di Newton per tutti i pianeti eccetto uno, Mercurio. Le Verrier nel 1859 osservò che la precessione del perielio di Mercurio era pari a 5600 secondi d’arco per secolo, mentre i calcoli fatti sulla base della teoria newtoniana davano soli 5557 secondi d’arco per secolo.

Risultavano inspiegabili circa 43” per secolo. Einstein riuscì a spiegare questa discrepanza nel suo lavoro del 18 novembre. In una lettera a Ehrenfest Einstein scrisse: “Per alcuni giorni sono rimasto fuori di me per l’eccitazione e la gioia”.

Scrive Pais (Sottile e il Signore p. 275) che questa scoperta ha probabilmente costituito l’esperienza emotiva di gran lunga più intensa di tutta la vita scientifica di Einstein e forse di tutta la sua esistenza in generale. La natura aveva parlato, doveva essere nel giusto.
Ci è sembrato interessante riportare pochi periodi del lavoro di Karl Schwarzschild "On the Gravitational Field of a Point Mass according to the Einsteinian Theory" del 13 gennaio 1916.
In questo lavoro Schwarzschild fornisce l’esatta soluzione delle equazioni di Einstein per lo spazio esterno di una sola particella sfericamente simmetrica di massa costante. Oltre alla eleganza di questa soluzione esatta, Schwarzschild pensò che il suo lavoro non avesse importanza per l’astronomia, poiché la soluzione approssimata era già stata trovata da Einstein. Se, d’altra parte, la teoria
generale della relatività fosse applicabile alla fisica atomica, come Schwarzschild sperava, allora avrebbe potuto essere necessaria la soluzione esatta, invece di quella approssimata di Einstein.
Albert Einstein ha posto il seguente problema nel suo lavoro sul moto del perielio di Mercurio. Una massa puntiforme si muove
secondo la condizione

dove   indicano funzioni della variabile x e nella variazione le variabili x devono essere tenute fisse all'inizio e alla fine del cammino di integrazione. In breve, il punto si muove su una geodetica in una varietà caratterizzata dall'elemento di linea ds.
Il calcolo della variazione dà l’equazione del moto del punto:

dove

e  indica il minore normalizzato associato a  nel determinante .

.............
Einstein ha mostrato che questo problema porta, in prima approssimazione, alla legge di Newton e che la seconda approssimazione spiega correttamente la nota anomalia del moto del perielio di Mercurio.
I calcoli seguenti forniscono la soluzione esatta del problema.  E' sempre piacevole avere a disposizione una soluzione rigorosa in forma semplice...

Fra gli innumerevoli lavori che si possono trovare in rete, segnaliamo: 

• E. Fabri, La candela - Sagredo.eu www.sagredo.eu/candela/candel70.pdf  
• J Renn - T Sauer, Heuristics and Mathematical Representation in Einstein’s   http://adsabs.harvard.edu/abs/1999ewgr.book...87R
• Anna Nobili, Verifiche della Relatività Generale di Einstein nello Spazio http://eotvos.dm.unipi.it/piacenza.pdf 
• Jürgen Renn, Einstein’s path to General Relativity - IHES http://www.ihes.fr/~vanhove/Slides/renn-IHES-mars2013.pdf